四元数转EulerXYZ，如何区分负四元数和正四元数

Question

我一直在试图找出它们之间的区别，以及为什么 ToEulerXYZ 没有得到正确的旋转。

使用 MathGeoLib：

轴X:

x   0.80878228  float
y   -0.58810818 float
z   0.00000000  float

Y轴：

x   0.58811820  float
y   0.80877501  float
z   0.00000000  float

轴 Z:

x   0.00000000  float
y   0.00000000  float
z   1.0000000   float

代码：

Quat aQ = Quat::RotateAxisAngle(axisX, DegToRad(30)) * Quat::RotateAxisAngle(axisY, DegToRad(60)) * Quat::RotateAxisAngle(axisZ, DegToRad(40));
float3 eulerAnglesA = aQ.ToEulerXYZ();

Quat bQ = Quat::RotateAxisAngle(axisX, DegToRad(-150)) * Quat::RotateAxisAngle(axisY, DegToRad(120)) * Quat::RotateAxisAngle(axisZ, DegToRad(-140));
float3 eulerAnglesB = bQ.ToEulerXYZ();

ToEulerXYZ 都得到 {x=58.675510 y=33.600880 z=38.327244 ...}（转换为度数时）。

我能看到的唯一区别是四元数相同，但有一个是负数。但是 ToEulerXYZ 是错误的，因为一个应该是负数 ({x=-58.675510 y=-33.600880 z=-38.327244 ...}) (bQ)

AQ 是：

 x  0.52576530  float
 y  0.084034257 float
 z  0.40772036  float
 w  0.74180400  float

而 bQ 是：

 x  -0.52576530 float
 y  -0.084034257    float
 z  -0.40772036 float
 w  -0.74180400 float

这只是 MathGeoLib 的错误，还是一些奇怪的细微差别，或者有人可以向我解释逻辑上发生了什么。

还有一些甚至不是负面的情况

轴X:

-0.71492511 y=-0.69920099 z=0.00000000

Y轴：

0.69920099 y=-0.71492511 z=0.00000000

轴 Z:

x=0.00000000 y=0.00000000 z=1.0000000

代码：

Quat aQ = Quat::RotateAxisAngle(axisX, DegToRad(0)) * Quat::RotateAxisAngle(axisY, DegToRad(0)) * Quat::RotateAxisAngle(axisZ, DegToRad(-90));
float3 eulerAnglesA = aQ.ToEulerXYZ();

Quat bQ = Quat::RotateAxisAngle(axisX, DegToRad(-180)) * Quat::RotateAxisAngle(axisY, DegToRad(180)) * Quat::RotateAxisAngle(axisZ, DegToRad(90));
float3 eulerAnglesB = bQ.ToEulerXYZ();

它们都产生相同的四元数！

x   0.00000000  float
y   0.00000000  float
z   -0.70710677 float
w   0.70710677  float

Answer 1

据我所知，四元数可以被认为是绕任意轴的旋转。

这有助于直观地理解为什么总是有两个四元数来表示给定的旋转。

围绕 0,0,1 旋转 90° 与围绕 0,0, -1 旋转 270° 相同。

即围绕 0,0,1 逆时针旋转四分之一圈与围绕 0,0, -1 顺时针旋转四分之一圈相同。

你可以用大拇指作为旋转轴，沿着手指卷曲的方向旋转90°来检查一下。

Answer 2

四元数-q和q不同；然而，两个四元数表示的旋转是相同的。这种现象通常用四元数提供旋转群 SO(3) 的 double cover 来描述。看到这个的代数很简单：给定一个由四元数 p 表示的向量，和一个由四元数 q 表示的旋转，旋转是 qpq^{-1}。另一方面，-qp(-q)^{-1} = -1qp(q)^{-1}(-1) = q(-1)p(-1)q^{-1} = qp(-1)^2q^{-1} = qpq^{-1}，同样的旋转。四元数通常不交换，因此 pq != qp 对于一般四元数，但像 -1 这样的标量确实与四元数交换。

我相信 ToEulerXYZ 在这两种情况下应该是相同的，看起来是这样。

四元数转EulerXYZ，如何区分负四元数和正四元数

Quaternion to EulerXYZ, how to differentiate the negative and positive quaternion

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quaternions

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