在渐近循环中查找迭代次数的数学方程式？

Question

我有一个循环，它随着迭代次数的增加而减少。我需要计算它将经历的迭代次数（我在这个问题的底部解释了为什么我需要这个）。前 6 个步骤是

0.50, 1.50, 1.83, 2.11, 2.34, 2.55, ...

X-axis：迭代，Y-axis：计数

计数从 0.5 开始，并以递减的速度增长，直到达到 20。循环归结为：

var SCALE = 0.5; // Starting value, also affects increment
var MAX = 20;    // Maximum value
var i = 0;       // Just for counting

for (var count = SCALE; count < MAX; count += SCALE / count) {
    console.log(count, i);
    i++;
}

由于 count += SCALE / count，您可以看到图形在进行时增长得更慢，因此随着计数的增加，分母也会增加。

我认为它遵循指数 pow(MAX, 1 / SCALE) 线，但不完全是：

MAX = 5 :  23 iterations      Math.pow(5, 2) = 25
MAX = 10 : 97 iterations      Math.pow(10, 2) = 100
MAX = 15 : 222 iterations     Math.pow(15, 2) = 225
MAX = 20 : 397 iterations     Math.pow(20, 2) = 400

此外，当 SCALE 不是 0.5 时，这种方法就会失效。

问题

我可以使用哪个方程同时考虑 SCALE 和 MAX 来计算迭代次数？

为什么我需要这个？

我正在尝试将示例代码 at the bottom of this article 转换为 GLSL 着色器代码。问题是显卡只能执行 for-loops 整数计数到一个常数，所以我需要在开始循环之前知道循环将进行多少次迭代。

我需要这样的东西：for(int i = 0; i < MAX_COUNT; i++) 但首先我需要知道 MAX_COUNT 会是什么。

Answer 1

所以我有 2 个解决方案，首先是数学：

如评论中所述，您拥有的是调和级数，它没有简单的闭合形式。因此，通过分析获得循环的上限将是一个挑战。

但这并不意味着您无法解决问题。

解决方案：

选项一是，正如评论运行中所建议的那样，您在 CPU 上的代码直到找到最大迭代次数，然后将该数字作为循环的上限发送（例如作为制服）。

另一个可能更好的解决方案是，将最大迭代次数设置为一个很大的数字，然后在循环体内，break 如果您超过了阈值（这在现代. 即 GLSL 的 4 个以上版本）。

Answer 2

正如几个人在评论中所建议的那样，此模式不遵循对数图、调和图或任何可识别的模式。为了解决这个问题，我不得不采用 "brute-force" 方法，即仅运行循环一次，然后使用迭代计数作为结果。没有优雅的数学方程式。

function calculateSampleCount() {
    const SCALE = 0.5; // Starting value, also affects increment
    const MAX = 20;    // Maximum value
    let i = 0;
    for (let r = SCALE; r < MAX; r += SCALE / r) {
        i++;
    }
    return i;
}

在渐近循环中查找迭代次数的数学方程式？

Math equation to find number of iterations in asymptotic loop?

javascript

math

glsl

logarithm

asymptote

问题

为什么我需要这个？