在片段着色器上优化复杂的莫比乌斯变换

Question

我正在开发自己的图形引擎来渲染各种分形（如我的视频 here for example), and I'm currently working on optimizing my code for Julia Set matings (see this question and my project 了解更多详细信息）。在片段着色器中，我使用这个函数：

vec3 JuliaMatingLoop(dvec2 z)
{
    ...

    for (int k = some_n; k >= 0; --k)
    {
        // z = z^2
        z = dcproj(c_2(z));
        
        // Mobius Transformation: (ma[k] * z + mb[k]) / (mc[k] * z + md[k])
        z = dcproj(dc_div(cd_mult(ma[k], z) + mb[k], dc_mult(mc[k], z) + md[k]));
    }
    
    ...
}

并且在阅读 this 之后，我意识到我在这段代码中进行莫比乌斯变换，并且（从数学上讲）我可以使用矩阵来完成相同的操作。但是，a、b、c 和 d 常数都是复数（表示为ma[k], mb[k], mc[k]，和 md[k] 在我的代码中），而 GLSL 矩阵中的元素只包含实数（而不是 vec2）。所以我的问题是：有没有办法在 GLSL 中使用矩阵优化这些莫比乌斯变换？或者任何其他优化我的这部分代码的方法？

辅助函数（我需要为这部分使用双精度数，所以我不能通过切换到使用浮点数来优化）：

// Squaring
dvec2 c_2(dvec2 c)
{
    return dvec2(c.x*c.x - c.y*c.y, 2*c.x*c.y);
}
// Multiplying
dvec2 dc_mult(dvec2 a, dvec2 b)
{
    return dvec2(a.x*b.x - a.y*b.y, a.x*b.y + a.y*b.x);
}
// Dividing
dvec2 dc_div(dvec2 a, dvec2 b)
{
    double x = b.x * b.x + b.y * b.y;
    return vec2((a.x * b.x + a.y * b.y) / x, (b.x * a.y - a.x * b.y) / x);
    
}
// Riemann Projecting
dvec2 dcproj(dvec2 c)
{
    if (!isinf(c.x) && !isinf(c.y) && !isnan(c.x) && !isnan(c.y))
        return c;
        
    return dvec2(infinity, 0);
}

Answer 1

我不确定这是否有帮助，但是是的，您可以通过矩阵进行复杂的算术运算。

如果将复数 z 视为具有分量 Re(z)、Im(z) 的实数双向量那么

A*z + B ~ (Re(A)  -Im(A) ) * (Re(z)) + (Re(B))
          (Im(A)   Re(A) )   (Im(z))   (Im(B))

你当然想要

(A*z + B) / (C*z + D)

如果你计算

A*z+b as (x)
         (y)

C*z+d as (x')
         (y')

那么你要的答案就是

inv( x' -y') * ( x)
   ( y' x' )   ( y)
i.e
    (1/(x'*x'+y'*y')) * (x'  y') * (x)
                        (-y' x')   (y)

不过，需要注意的一件事是，在这些公式中，就像在您的代码中一样，除法的实现没有达到应有的稳健性。问题在于计算 b.x * b.x + b.y * b.y。这可能会溢出到无穷大，或者下溢到 0，即使除法的结果可能非常合理。一个常用的解决方法是 Smith 的方法，例如 here，如果您搜索 'robust complex division'，您会找到更多最近的工作。通常这种事情无关紧要，但如果你迭代到无穷大，它可能会有所不同。

在片段着色器上优化复杂的莫比乌斯变换

Optimizing Complex Mobius Transformations on a Fragment Shader

shader

glsl

complex-numbers

fragment-shader

mobius