四元数沿球体表面运动的方向性

Question

我正在使用配备 gyrometer/accelerometer/magnetometer 的运动跟踪设备。设备在任何时间点将其旋转方向作为四元数输出。

当我从其原始方向旋转设备时，我试图计算两件事：(1) 从其原始方向沿球体表面的距离（我实际上已经完成了这一步），以及(2)orientation的方向——但是方向需要是简单的1或者-1，不能是向量。

让我进一步解释一下关于方向的意思：假设设备开始处于初始旋转状态，然后我朝一个方向旋转它。完成一定程度的旋转后，我将它旋转回原来的位置，然后我继续沿着相同的轨迹旋转它 - 基本上以与原始旋转相反的方向旋转它。

所以，如果我有一个原始四元数 Q0，然后我有另一个四元数代表我的第一个旋转 Q1，那么我想说 对于任何未来的四元数 Qn:

我还没有解决方向部分。以下 post 帮助我完成了部分工作：

但是我的理解还不完整。谁能帮助阐明我该怎么做？谢谢！

Answer 1

不知道你用的四元数约定是左链还是右链，我就挑一个举例吧。假设 P1 是从 Q0 到 Q1 的四元数，如下所示：

P1 * Q0 = Q1

然后我们有

P1 = Q1 * Q0^-1

如果P1的w部分为负，则翻转P1元素的所有符号，使w部分为正。

If P1w < 0
    P1 = -P1
Endif

然后P1剩下的x,y,z部分指向旋转轴，所以我们可以用它来表示“方向”。称此向量为 v1 = [P1x,P1y,P1z]

现在你有另一个四元数 Qn，你想看看它是否与 Q1 处于相同的旋转“方向”。首先按照我们上面的方式生成以下内容：

Pn = Qn * Q0^-1

必要时翻转 Pn 的所有符号以确保 Pnw 为正。

形成向量vn = [Pnx,Pny,Pnz]

如果vn和v1在同一个“方向”，那么旋转也是同一个方向。否则就是相反的方向。即，

If dot(v1,vn) > 0
    Direction is the same
Else
    Direction is opposite
Endif

当涉及 0 度或 180 度的旋转，或者旋转超过 180 度时，这一切都会崩溃，因此您可能需要特殊的逻辑来处理这些情况。例如，如果 v1 或 vn 非常接近或等于 [0,0,0]，您想要什么结果？

对于不同的四元数约定，您可能需要从 Q0 * P1 = Q1 开始并据此进行。

Directionality of movement along the surface of a sphere with quaternions