切线为零的 1D Hermite 三次样条 - 如何使其看起来更平滑
1D Hermite Cubic Splines with tangents of zero - how to make it look smoother
我得到了 3 个值 y0、y1、y2。它们应该均匀分布，比如 x0 = -0.5、x1 = 0.5、x2 = 1.5。为了能够通过所有这些绘制样条曲线，所有点的导数被称为 dy/dx = 0.
现在渲染两个 Catmull-Rom-Splines 的结果（这是通过 GLSL 片段着色器完成的，包括非线性变换）看起来非常严格。 IE。曲线弯曲的地方，虽然很平滑，但是弯曲的区域很小。缩小会使弯曲看起来太尖锐。
我想切换到 TCB-Splines（又名 Kochanek-Bartels Splines），因为它们提供了张力参数 - 因此我希望我可以使外观平滑。但我意识到所有应用于零切线的 TCB 参数都没有任何用处。
有什么想法可以使曲线看起来更平滑吗？
二维参数曲线的切向量 f(t)=(x(t), y(t)) 定义为 f'(t)=(dx(t)/dt, dy(t) /dt）。当您要求曲线在某些点处具有 dy/dx = 0 时，这仅意味着这些点处的切向量将水平移动（即 dy/dt = 0）。这并不一定意味着切向量本身是零向量。所以，你应该仍然可以使用 TCB spline 做任何你想做的事情。
显然没有人给出好的答案，但由于这是我的工作，我找到了一个解决方案：点均匀分布，其想法是使过渡更平滑。现在已经给出，所有给定点的切线都为零，因此很可能在接近这些点时我们得到最强的曲率 y''(x)。这意味着，我们想扩展这些 "areas around the points".
考虑到目前我们使用 Catmull-Rom-Splines，在点之间进行分段。这使得 y(x) => y(t) , t(x) = x-x0.
这个 t(x) 需要围绕 0- 和 1- 区域拉伸。于是余弦函数跳进了我的脑海：
用 t(x) = 0.5 * (1.0 - cos( PI * ( x-x0 ) ) 替换 t(x) = x-x0 对我来说完成了工作。
简短说明：
[0,PI] 运行s 范围内的余弦从 1 到 -1.- 我们想 运行 从
0 到 1，尽管
- 所以翻转它：
1-cos() -> 现在 运行s 从 0 到 2
- 减半：
0.5*xxx -> 现在 运行 从 0 到 1
另一个问题是找到正确的切线。通常，使用 Matrix-Vector-Math 计算这样的样条，您只需导出 t-vector 即可获得切线，因此导出 [t³ t² t 1] 会得到 [3t² 2t 1 0]。但是在这里，t并不简单。使用 this 我找到了正确的导出向量：
| 0.375*PI*sin(PI*t)(1-cos(PI*t))² |
| 0.500*PI*sin(PI*t)(1-cos(PI*t)) |
| 0.500*PI*sin(PI*t) |
| 0 |
我得到了 3 个值 y0、y1、y2。它们应该均匀分布，比如 x0 = -0.5、x1 = 0.5、x2 = 1.5。为了能够通过所有这些绘制样条曲线，所有点的导数被称为 dy/dx = 0.
现在渲染两个 Catmull-Rom-Splines 的结果（这是通过 GLSL 片段着色器完成的，包括非线性变换）看起来非常严格。 IE。曲线弯曲的地方，虽然很平滑，但是弯曲的区域很小。缩小会使弯曲看起来太尖锐。
我想切换到 TCB-Splines（又名 Kochanek-Bartels Splines），因为它们提供了张力参数 - 因此我希望我可以使外观平滑。但我意识到所有应用于零切线的 TCB 参数都没有任何用处。
有什么想法可以使曲线看起来更平滑吗？
二维参数曲线的切向量 f(t)=(x(t), y(t)) 定义为 f'(t)=(dx(t)/dt, dy(t) /dt）。当您要求曲线在某些点处具有 dy/dx = 0 时，这仅意味着这些点处的切向量将水平移动（即 dy/dt = 0）。这并不一定意味着切向量本身是零向量。所以，你应该仍然可以使用 TCB spline 做任何你想做的事情。
显然没有人给出好的答案，但由于这是我的工作，我找到了一个解决方案：点均匀分布，其想法是使过渡更平滑。现在已经给出，所有给定点的切线都为零，因此很可能在接近这些点时我们得到最强的曲率 y''(x)。这意味着，我们想扩展这些 "areas around the points".
考虑到目前我们使用 Catmull-Rom-Splines，在点之间进行分段。这使得 y(x) => y(t) , t(x) = x-x0.
这个 t(x) 需要围绕 0- 和 1- 区域拉伸。于是余弦函数跳进了我的脑海：
用 t(x) = 0.5 * (1.0 - cos( PI * ( x-x0 ) ) 替换 t(x) = x-x0 对我来说完成了工作。
简短说明：
[0,PI]运行s 范围内的余弦从1到-1. 平滑
- 我们想 运行 从
0到1，尽管 - 所以翻转它：
1-cos()-> 现在 运行s 从0到2 - 减半：
0.5*xxx-> 现在 运行 从0到1
另一个问题是找到正确的切线。通常，使用 Matrix-Vector-Math 计算这样的样条，您只需导出 t-vector 即可获得切线，因此导出 [t³ t² t 1] 会得到 [3t² 2t 1 0]。但是在这里，t并不简单。使用 this 我找到了正确的导出向量：
| 0.375*PI*sin(PI*t)(1-cos(PI*t))² |
| 0.500*PI*sin(PI*t)(1-cos(PI*t)) |
| 0.500*PI*sin(PI*t) |
| 0 |