四元数除法和双曲正切tanh

Question

四元数乘法定义明确，我称之为 "Hamilton product":

// hamilton product
vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2) {
    return vec4(
        q1.w * q2.xyz + q2.w * q1.xyz - cross(q1.xyz, q2.xyz),
        q1.w*q2.w - dot(q1.xyz, q2.xyz)
    );
}

然而，为了实现qtanh()四元函数，我们需要除法。到目前为止，我已经找到了这个，并且工作正常。你能帮我理解一下，这是从哪里来的？

// division
// https://www.boost.org/doc/libs/1_67_0/boost/math/quaternion.hpp
vec4 qdiv(in vec4 q1, in vec4 q2) {
float denominator = dot(q2,q2);
return vec4( 
    vec3(
        -q1.w*q2.x+q1.x*q2.w-q1.y*q2.z+q1.z*q2.y,
        -q1.w*q2.y+q1.x*q2.z+q1.y*q2.w-q1.z*q2.x,
        -q1.w*q2.z-q1.x*q2.y+q1.y*q2.x+q1.z*q2.w
    ),
    q1.w*q2.w + dot(q1.xyz, q2.xyz)
) / denominator;
}

此外，就我尝试实现 tanh().. 你是否知道 vat 比除 sinh 和 cosh 更多的计算？对于实数，我曾经使用以下公式：tanh(x)=-1+2/(1+exp(-x))。这只涉及一个指数演算，而不是两个..

Answer 1

1。分区

将名为p的四元数除以名为q的四元数无非就是乘以p the reciprocal of q.

这相当于 p 乘以 q 的共轭（by definition 等于 a – bi – cj – dk) 并将乘积除以等于 q 范数平方的标量：

$\\{p\over{q}}=p\cdot{q^{-1}}=p\cdot{q^*\over||q||^2}={p\cdot{q^*}\over||q||^2}$

从这里可以明显看出 denominator 部分的来源：

$\\||q||=\sqrt{q\cdot{q^*}}\;\;\Rightarrow\;\;||q||^2=q\cdot{q^*}=a^2+b^2+c^2+d^2$

现在让我们重新排列 vec3 总和中的项以提高可读性：

vec3(
    -q1.w*q2.x + q1.x*q2.w - (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w*q2.y + q1.y*q2.w - (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w*q2.z + q1.z*q2.w - (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

现在突然明白发生了什么：

vec3(
    -q1.w * q2.x    +  q1.x   * q2.w  -  (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w * q2.y    +  q1.y   * q2.w  -  (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w * q2.z    +  q1.z   * q2.w  -  (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

...

    -q1.w * q2.xyz  +  q1.xyz * q2.w  -  (cross(q1.xyz, q2.xyz))

所以是的，四元数除法就是常规的运行乘法，被乘数是倒数。这就是缺点的来源，请参阅上面的定义。

2。双曲正切

首先，定义。对于每个 q = a + bi + cj + dk = a + v̅:

$\\\sinh(q)={{e^q-e^{-q}}\over{2}},\quad\cosh(q)={{e^q+e^{-q}}\over{2}},\quad\tanh(q)={\sinh(q)\over\cosh(q)}={{e^q-e^{-q}}\over{e^q+e^{-q}}}\\e^q=e^a\left(\cos(||\mathrm{v}||)+{\mathrm{v}\over||\mathrm{v}||}\sin(||\mathrm{v}||)\right),\quad||\mathrm{v}||=\sqrt{b^2+c^2+d^2},\quad{e}^{-a}={1\over{e^a}}$

因此，要同时获得 e^q 和 e^–q 你只需要计算以下值：e^a, ||v̅||, sin(||v̅||), cos(||v̅||).

要计算 e^–q 你应该取 e^{a[= 的倒数77=]} 并将其乘以符号倒置的等式的其余部分。这不会花费太多时间，因为它包含的所有值都已经计算好了。一个 exp() 电话，根据要求 =)

四元数除法和双曲正切tanh

Quaternion division and hyperbolic tangent tanh

glsl

linear-algebra

quaternions

hyperbolic-function

1。分区

2。双曲正切